常用傅里叶函数
常用傅里叶函数
leim1. 冲激函数 δ(t)
- 定义：
δ(t) 在 (t=0) 时为无穷大，其余地方为 0，且
[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) , dt = 1
] - 傅里叶变换：
[
F[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)e^{-j\omega t} , dt = 1
]
（利用冲激函数的筛选性质） - 记忆：
冲激函数在时域上是“一瞬间的冲击”，对应到频域就是“所有频率成分都有相同的强度”，因此傅里叶变换为常数 1。
2. 常数 1
- 傅里叶变换：
[
F[1] = 2\pi\delta(\omega)
] - 记忆：
常数在时域上是“永恒不变的”，对应到频域就是“只有 0 频率（直流分量）有能量”，因此傅里叶变换为冲激函数 (2\pi\delta(\omega))。这和冲激函数的傅里叶变换形成对偶关系。
3. 指数函数 (e^{-at}u(t)) ((a > 0))
- 推导：
[
F[e^{-at}u(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{-at}e^{-j\omega t} , dt = \frac{1}{a + j\omega}
] - 记忆：
指数衰减函数在时域上是“逐渐衰减的”，对应到频域就是“低频成分强，高频成分弱”。(a) 的值越大，衰减越快，频域上的分布就越宽。
4. 矩形脉冲 ( \text{rect}(t/\tau) )
- 定义：
(\text{rect}(t/\tau)) 在 (|t| < \tau/2) 时为 1，其余地方为 0。 - 推导：
[
F[\text{rect}(t/\tau)] = \tau \cdot \text{sinc}\left(\frac{\omega \tau}{2\pi}\right)
]
（其中 (\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x})） - 记忆：
矩形脉冲在时域上是“一个有限宽度的脉冲”，对应到频域就是 sinc 函数。脉冲越窄（(\tau) 越小），频域上的 sinc 函数就越宽；反之亦然。这体现了时域和频域的倒数关系。
5. 正弦/余弦函数 ( \cos(\omega_0 t) ) 和 ( \sin(\omega_0 t) )
- 推导：
利用欧拉公式 (e^{j\omega_0 t} = \cos(\omega_0 t) + j\sin(\omega_0 t))，可以得出：
[
F[\cos(\omega_0 t)] = \pi \left[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)\right]
]
[
F[\sin(\omega_0 t)] = j\pi \left[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)\right]
] - 记忆：
正弦/余弦函数在时域上是“周期性振荡的”，对应到频域就是“只有特定频率 (\pm \omega_0) 处有能量”。
常用性质的记忆
- 线性性：
[
F[af(t) + bg(t)] = aF[f(t)] + bF[g(t)]
]
（简单叠加） - 时移性：
[
F[f(t - t_0)] = e^{-j\omega t_0}F[f(t)]
]
（时域平移对应频域相移） - 频移性：
[
F[f(t)e^{j\omega_0 t}] = F[f(t)](\omega - \omega_0)
]
（频域平移对应时域调制） - 尺度变换：
[
F[f(at)] = \frac{1}{|a|}F\left[\frac{\omega}{a}\right]
]
（时域压缩对应频域扩展，反之亦然） - 对偶性：
如果 (F[f(t)] = F(\omega))，则
[
F[F(t)] = 2\pi f(-\omega)
]
（时域和频域的对称性）
记住：不要死记硬背，要理解其背后的物理意义。
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